Bal / Baller : Voici ce que nous pouvons lire dans le dictionnaire de « moyen français » (milieu XIV^e siècle au XVII^e siècle) d’Algirdas Julien Greimas & Teresa Mary Keane (Laroussse 1992) :

Baller : verbe. (1170, Benoît de Sainte-Maure Roman de Troie ; bas latin ballare) > Danser.

<> Bal : nom masculin (fin XII^e siècle).
> Danse.
> Mouvement régulier, rythmé.

<> Ballet : nom masculin (1578, Agrippa d’Aubigné, Mémoires ; emprunté à l’italien balletto).
> Danse légère et gracieuse.
> Assemblée de danse : En entremeslés comme en un ballet ou festin de toutes sortes de dames parées (Philippe de Marnix).
> Spectacle d’équitation : carrosel et ballet à cheval (Agrippa d’Aubigné).

<> Balleur : nom masculin (XVI^e siècle). > Danseur.

<> Ballade : nom féminin (milieu du XIII^e siècle).
> Petit poème fait pour chanter, destiné à la danse (jusqu’au XIV^e siècle).
> Poème à forme fixe.
> Danse chantée : Desja les jeux, danses, ballades, banquets et superfluités de coiffures … avoyent presque toutes cessé (Bernard Palissy).

<> Balader : verbe (1422, Pastoralet). > Chanter des ballades.

<> Baladeur : nom masculin (avant 1455, Procès des coquillards). > Escroc.

<> Balladin : nom masculin avant 1545, Clément Marot).
> Danseur.
> Danseur facétieux, amuseur public : baladin du roy (Amyot).

Bran(s)ler : Voici ce que nous pouvons lire dans le dictionnaire de « moyen français » (milieu XIV^e siècle au XVII^e siècle) d’Algirdas Julien Greimas & Teresa Mary Keane (Laroussse 1992) :

Bran(s)ler : verbe (première apparition connue : vers 1080 dans la « Chanson de Roland » ; contraction de l’ancien français brandeler)

1. Remuer, bouger. – 2 Trembler, être secoué. – 3. S’ébranler. – 4. Danser : Tout ne branle-il pas vostre branle? (Montaigne)

<> bran(s)le nom masculin (fin XVIe siècle). 1. Agitation. En branle, ébranlé, agité. -2. Vibration : Le branle de la voix (Montaigne). -3. Danse (XVIe siècle). -4. Incertitude ; changement, transformation. -5. A tout bransle, de toute force.

Et voici ce que nous pouvons lire sur le site du Centre National de Ressources Textuelles et Lexicales :

Brandeler : verbe transitif : Agiter, remuer, brandir. [Joël Blanchard & Michel Quereuil]

Branler : verbe transitif : Agiter, remuer, brandir. [Robert Martin]

Branle : nom masculin : mouvements d’oscillation
au sens figuré : agitation, trouble, danger [Robert Martin]

Et sur ÉTYMOL. ET HIST. − 1. Ca 1165-70 prendre son branle « se mettre en mouvement » (B. de Ste-Maure, Troie, 24363 dans T.-L.); spéc. 1250-60 « mouvement oscillatoire » (Atre périlleux, 1394, ibid.); ca 1463 sonner a bransle (Villon, Testament, 1905 dans IGLF Litt.); 2. 1540-46 être en branle de « être sur le point de » (Amadis, IV, 25 dans Hug.) − 1640 (Oudin Curiositez); 1622 donner le branle à (le P. Garasse, Rech. des Rech. de M^e Est. Pasquier, p. 158 dansLivet Molière); 1640 mettre un homme en bransle (Oudin, loc. cit.); 1835 se mettre en bransle (Ac.); 3. xiii^e s. « danse » (Chr. de Troyes, Chevalier charrette, éd. W. Foerster, 1658); 4. 1678 mar. (Guillet, Les Arts de l’homme d’épée,Paris, 3^e part.).
Déverbal de branler* « agiter ». Le sens de « danse » est tiré du syntagme branler une danse (av. 1525, Cretin, page 63 dans La Curne : Ainsi marcha, comme si une dance Voulsist bransler), puis branler « danser » (1572, Yver, p. 573 dans Littré : Ayant quelque temps branlé à la lourdesque); il est attesté en prov. dès 1492 (Gay).